Egzamin z Algebry, 7 II 2014 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 Przedstawić w postaci algebraicznej (kanonicznej) oraz trygonometrycznej z = 1 - i =
"
7Ä„
5 + i
2 cos +
z =
4
2 + 3i
7Ä„
RozwiÄ…zanie:
i sin
5 + i (5 + i)(2 - 3i) 13 - 13i 4
z = = = = 1 - i
2 + 3i (2 + 3i)(2 - 3i) 13
"
7Ä„ 7Ä„
z = 2 cos + i sin
4 4
1 1 1 0 -1 1
2 Wyznaczyć macierz X z równania: · X =
2 1 0 1 2 -1
RozwiÄ…zanie:
1 1
X = A-1 , gdzie A =
2 1
-1 T -1
1 -2 1 -1
|A| = -1 , Ad = , Ad =
-1 1 -2 1
T
1
-1 1
X = Ad =
2 -1
|A|
3 Dla jakiego m wektor u = [1, 2, m] jest prostopadły do prostej m = 4
x z
l : = y - 1 = .
2 -1
RozwiÄ…zanie:
v = [2, 1, -1] wektor kierunkowy prostej l
u ć% v = 0 =Ò! 2 + 2 - m = 0 =Ò! m = 4
4 Wyznaczyć równanie prostej stycznej w punkcie P (3, 0) do krzywej x = 3
K : 4x2 + 9y2 = 36
RozwiÄ…zanie:
x2 x2
4x2 + 9y2 = 36 =Ò! + = 1
9 4
Krzywa K to elipsa, a = 3 , b = 2 . Prosta styczna w punkcie P (3, 0) jest
więc pionowa.
5 Napisać równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzęd-
z
x = y =
nych i środek sfery danej równaniem: x2 - 2x + y2 - 2y + z2 - 7 = 0
0
RozwiÄ…zanie:
x2 - 2x + y2 - 2y + z2 - 7 = 0 =Ò! (x - 1)2 + (y - 1)2 + z2 = 9
P (1, 1, 0) środek sfery
-
v = OP = [1, 1, 0] wektor kierunkowy prostej
1
2. Rozwiązać równanie w liczbach zespolonych , (x " C)
x -1 0 0
0 x -1 0
= 0
0 0 x -1
0 -1 1 1
RozwiÄ…zanie: Obliczamy wyznacznik macierzy
x -1 0 0 0 -1 0 0
0 x -1 0 {k1 = k1 + xk2} x2 x -1 0 {Rozw. Laplace a wzgl. w1}
0 0 x -1 = 0 0 x -1 =
0 -1 1 1 -x -1 1 1
x2 -1 0
-1 · (-1)3 0 x -1 = x3 - x + x2
-x 1 1
x3 + x2 - x = 0 =Ò! x(x2 + x - 1) = 0
x1 = 0
x2 + x - 1 = 0
" = 5
"
-1 - 5
x2 =
2
"
-1 + 5
x3 =
2
Odpowiedz:
" "
-1 - 5 -1 + 5
x1 = 0 , x2 = , x3 =
2 2
2
3. Wyznaczyć macierz A-1, jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0
ïÅ‚ śł
A = -3 1 -1 ûÅ‚
ðÅ‚
11 2 3
a nastÄ™pnie rozwiÄ…zać równanie A · X = [2 - 1 8]T
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy
1 2 0
|A| = -3 1 -1 = 3 - 22 + 2 + 18 = 1 = 0
11 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
5 -2 -17
ïÅ‚ śł
Ad = -6 3 20 ûÅ‚
ðÅ‚
-2 1 7
îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2
T
ïÅ‚ śł
Ad = -2 3 1 ûÅ‚
ðÅ‚
-17 20 7
îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2
T
1
ïÅ‚ śł
A-1 = · Ad = -2 3 1 ûÅ‚
ðÅ‚
|A|
-17 20 7
Rozwiązujemy równanie:
A · X = [2 - 1 8]T =Ò! X = A-1 · [2 - 1 8]T
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2 2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
X = -2 3 1 · -1 = 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-17 20 7 8 2
Odpowiedz:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A-1 = -2 3 1 ; X = 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-17 20 7 2
3
4. Dane sÄ… wektory a = [1 , -1 , 2] , b = [2 , 2 , 2] , c = [3 , 1 , -2] . Dla jakiego k
spełniona jest równość:
a × (b × c) = 10k (a ć% c)b - (a ć% b)c
RozwiÄ…zanie:
1 sposób: Z własności iloczynów wektorów wynika, że 10k = 1 czyli k = 0, 1.
2 sposób: Obliczamy
i j k
b × c = 2 2 2 = [-6 , 10 , -4]
3 1 -2
i j k
a × (b × c) = 1 -1 2 = [-16 , -8 , 4]
-6 10 -4
(a ć% c)b - (a ć% b)c = -2b - 4c = [-4 , -4 , -4] - [12 , 4 , -9] = [-16 , -8 , 4]
10k = 1 =Ò! k = 0, 1
Odpowiedz:
k = 0, 1
4
5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny Ą zawierającej proste
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 1 + 2t
òÅ‚
y - 1
l1 : x = = z + 1 oraz l2 : y = 4t .
ôÅ‚
2
ół
z = 2t
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie prostej l1 do postaci krawędziowej:
2x - y + 1 = 0
l1 : .
x - z - 1 = 0
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l1 (pęk płaszczyzn):
Ä„ : Ä…(2x - y + 1) + ²(x - z - 1) = 0
Płaszczyzna zawiera prostą l2 gdy dla każdego t zachodzi:
Ä…(2(1 + 2t) + 4t - 2(2t)) + ²(1 + 2t - 2t - 1) = 0
tÄ…t + 2Ä… = 0
Ä… = 0
Wybieramy dowolnÄ… niezerowÄ… wartość np. ² = 1 . Wtedy:
Ä„ : x - z - 1 = 0
Odpowiedz:
Równanie płaszczyzny Ą : x - z - 1 = 0
5
6. Wyznaczyć równanie prostej l, która jest prostopadła do osi Oz, przecina tę oś i prze-
chodzi przez środek sfery x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 13 = 0 . Podać największą i
najmniejszą odległość punktu należącego do tej sfery od osi Oz.
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie sfery:
x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 13 = 0 =Ò! (x - 1)2 - 1 + (y - 2)2 - 4 + (z - 3)2 - 9 + 13 =
0 =Ò! (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 1
Środek sfery jest w punkcie O(1, 2, 3) , a jej promień R = 1 .
Rzut punktu O na oś z jest równy O = (0, 0, 3) .
Szukana prosta przechodzi przez O i O . Jej wektor kierunkowy:
-
-
v = O O = [1, 2, 0]
Równanie prostej:
y z - 3
l : x = =
2 0
" "
Odległość środka sfery od osi z jest równa d = 12 + 22 = 5 > R
"
Minimalna odległość punktów sfery dmin = d - R = 5 - 1
"
Maksymalna odległość punktów sfery dmax = d + R = 5 + 1
Odpowiedz:
y z - 3
l : x = =
2 0
"
dmin = 5 - 1
"
dmax = 5 + 1
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11a rozw 1SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 01 30a rozwSIMR AN1 EGZ 2007 02 07b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12a rozwwięcej podobnych podstron