Egzamin z Analizy 2, 21 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie: f(x, y) = x2+y2+x ln(1+xy) . P (-1, 2) 2
"x2
RozwiÄ…zanie:
"f xy
= 2x + ln(1 + xy) +
"x 1 + xy
"2f y y(1 + xy) - xy2 y y 2 2
= 2+ + = 2+ + = 2+ + = 2
"x2 1 + xy (1 + xy)2 1 + xy (1 + xy)2 -1 1
2. Obliczyć dywergencję pola wektorowego 9

"
-

2
F = x2 sin(x - 1) , xexy -4 , y z2 - 3x2 w punkcie A = (1, 2, 2)
RozwiÄ…zanie:
-
"P "Q "R 2
div F = + + = 2x sin(x - 1) + x2 cos(x - 1) + xexy -4 · 2xy +
"x "y "z
2z
"
y = 0 + 1 + 4 + 4 = 9
2 z2 - 3x2
6
3. Obliczyć całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚
"
7
y
1
ìÅ‚
íÅ‚ 30x2y dx÷Å‚ dy
Å‚Å‚
y
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
"
y
1 1
"y 1 1
5 20 7
ìÅ‚
2 2
íÅ‚ 30x2y dx÷Å‚ dy = 10yx3 dy = (10y -10y4) dy = y -2y5 =
Å‚Å‚
y 0
7
y
0 0 0
20 6
- 2 =
7 7
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną -2y dx + x dy ; 15
C
C : x = t2 + 1 , y = t4 od t = 1 do t = 2
RozwiÄ…zanie:
2 2
-2y dx + x dy = -2t4 · 2t dt + (t2 + 1) · 4t3 dt = (-4t5 + 4t5 + 4t3) dt =
C 1 1
2
2
4t3 dt = t4 = 16 - 1 = 15
1
1
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 2
ôÅ‚
ół
A : z2 x2 + y2 , x2 + y2 4 -r z r
RozwiÄ…zanie:
z2 x2 + y2 =Ò! z2 r2 =Ò! |z| r =Ò! -r z r stożek
x2 + y2 4 =Ò! r2 4 =Ò! r 2 walec
1
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
2
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = xyex -y2 , P = (1, 1) -3
"x"y
RozwiÄ…zanie:
"f 2 2 2
= yex -y2 + xyex -y2 · 2x = (2x2y + y)ex -y2
"x
"2f 2 2
= (2x2 + 1)ex -y2 + (2x2y + y)ex -y2 · (-2y) = 3 - 6 = -3
"x"y
2. Obliczyć rotację pola wektorowego [6 , 18 , 1]

-

F = xy , y2 + z2 , x2z2 w punkcie A = (-1, -2, -3)
RozwiÄ…zanie:


i j k


-


" " "
rot F = = 0 - 2z , 0 - 2xz2 , 0 - x = [6 , 18 , 1]
"x "y "z


xy y2 + z2 x2z2
3. Obliczyć całkę iterowaną 1
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
1
ìÅ‚
íÅ‚ 24xy dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
x
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
1 1
"x 1 1
ìÅ‚
íÅ‚ 24xy dy÷Å‚ dx = 12xy2 dx = (12x2 - 12x3) dx = 4x3 - 3x4 =
Å‚Å‚
x 0
x
0 0 0
4 - 3 - 0 = 1

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną 3y dx - 2x dy ; -28
C
C : x = t2 , y = t3 + 3t od t = 2 do t = 1
RozwiÄ…zanie:
1 1
3y dx - 2x dy = 3(t3 + 3t) · 2t dt - 2t2 · (3t2 + 3) dt = (6t4 + 18t2 - 6t4 -
C 2 2
1
1
6t2) dt = 12t2 dt = 4t3 = 4 - 32 = -28
2
2
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 2
"
ôÅ‚
ół
A : z x2 + y2 , z 2 x2 + y2 r2 z 2r
RozwiÄ…zanie:
z x2 y2 =Ò! z r2 paraboloida
"+
z 2 x2 + y2 =Ò! z 2r stożek
2r = r2 =Ò! r = 2
2
2. Pod jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ powierzchnie
3
3
S1 : yey -z3 + - x + 2 = 0 oraz S2 : xyz + ln(z2 - y2 + 1) = 0 w punkcie P (0, 1, 1)
x - z
RozwiÄ…zanie:
3
3
Oznaczmy f1(x, y, z) = yey -z3 + - x + 2 , f2(x, y, z) = xyz + ln(z2 - y2 + 1)
x - z
Wektor prostopadły do powierzchni S1 :
-

n = grad f1
1

"f1 "f1 "f1
grad f1 = , ,
"x "y "z
"f1 3
= - - 1 = -4
"x (x - z)2
"f1 -z3 3
3
= ey + 3y3ey -z3 = 4
"y
"f1 3 3
= -3yz2ey -z3 + = 0
"z (x - z)2
StÄ…d:
-

n = [-4, 4, 0]
1
Wektor prostopadły do powierzchni S2 :
-

n = grad f2
2
"f2
= yz = 1
"x
"f2 -2y
= xz + = -2
"y z2 - y2 + 1
"f2 2z
= xy + = 2
"x z2 - y2 + 1
StÄ…d:
-

n = [1, -2, 2]
2
Kąt między powierzchniami jest równy kątowi między wektorami prostopadłymi do
powierzchni.
-
-
| · n | | - 4 - 8 + 0| 1
n
1 2
" " "
cos Ä… = = =
- -
| || |
n n
16 + 16 1 + 4 + 4 2
1 2
1 Ä„
"
cos Ä… = =Ò! Ä… =
4
2
Odpowiedz
:
Ä„
Ä… =
4
3
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji
f(x, y) = -x2y - 2xy2 + 6xy
RozwiÄ…zanie
Dziedzina funkcji D = R2
Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"f "f
= -2xy - 2y2 + 6y ; = -x2 - 4xy + 6x
"x "y
StÄ…d:

-2xy - 2y2 + 6y = 0
-x2 - 4xy + 6x = 0
Z pierwszego równania:
y(-2x - 2y + 6) = 0 =Ò! y = 0 lub y = 3 - x
Z drugiego równania:
y = 0 =Ò! -x2 + 6x = 0 =Ò! x = 0 lub x = 6,
y = 3 - x =Ò! -x2 - 4x(3 - x) + 6x = 0 =Ò! 3x2 - 6x = 0 =Ò! x = 0 lub x = 2,
Rozwiązaniem tego układu są więc punkty:
P1(0, 0) , P2(6, 0) , P3(0, 3) , P4(2, 1)
Obliczamy drugie pochodne funkcji f:
"2f "2f "2f
= -2y ; = -4x ; = -2x - 4y + 6
"x2 "y2 "x"y
Badamy macierz drugich pochodnych:

0 6
f (P1) = W1 = 0 ; W2 = -36 < 0 =Ò! P1 = (0, 0) - punkt siodÅ‚owy
6 0

0 -6
f (P2) = W1 = 0 ; W2 = -36 < 0 =Ò! P2 = (6, 0) - punkt siodÅ‚owy
-6 -24

-6 -6
f (P3) = W1 = -6 ; W2 = -36 < 0 =Ò! P3 = (6, 0) - punkt siodÅ‚owy
-6 0

-2 -2
f (P4) = W1 = -2 < 0 ; W2 = 12 > 0 =Ò! P4 = (2, 1) - maksimum
-2 -8
lokalne
4
4. Obliczyć masę obszaru ograniczonego krzywymi x = y2 , x + y = 2 jeżeli jego gęstość
Á(x, y) = 6x
RozwiÄ…zanie:
Masa obszaru jest równa:
Obliczamy całki:

m = Á dx dy = 6x dx dy
D D
Szukamy punktów przecięcia krzywych:

x = y2
x + y = 2
x = 2 - y
y2 + y - 2 = 0
" = 9
y1 = -2 =Ò! x1 = 4
y2 = 1 =Ò! x2 = 1
Mamy więc:

-2 y 1
D :
y2 x 2 - y
Obliczamy całki:
ëÅ‚ öÅ‚
1 2-y 1 1

2-y
ìÅ‚
m = 6 íÅ‚ x dx÷Å‚ dy = 3 x2 dy = 3 ((2 - y)2 - y4) dy =
Å‚Å‚
y2
-2 -2 -2
y2
1
1
y3 y5 32 1 1
3 (4 - 4y + y2 - y4) dy = 3 4y - 2y2 + - = = 3(4 - 2 + - ) - 3(-8 -
3 5 3 3 5
-2
-2
8 32 216
8 - + ) =
3 5 5
Odpowiedz
:
216
m =
5
5
5. Obliczyć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-
wierzchniami x2 + y2 = 9 , x2 + y2 = z2 .
RozwiÄ…zanie:
Moment bezwładności jest równy:

Iz = Á(x2 + y2) dx dy ddz = Á (x2 + y2) dx dy dz
A A
Powierzchnie ograniczajÄ…ce A:
z2 = x2 + y2 : stożek
x2 + y2 = 9 : walec
Stosujemy współrzędne walcowe:

Iz = r2 · r dr dÕ dz = r3 dr dÕ dz
A" A"
Zbiór A" :
x2 + y2 = 9 =Ò! r2 = 9 =Ò! r = 3
z2 = x2 + y2 =Ò! z2 = r2 =Ò! z = Ä…r
zachodzić mają również standardowe ograniczenia współrzędnych walcowych: r 0
oraz Õ należy do jednego okresu. StÄ…d:
A" : Õ "< 0, 2Ä„ > ; r "< 0, 3 > ; z "< -r, r >
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
2Ä„
3 r
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
Iz = Á dÕÅ‚Å‚ · r3 dzÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚
0 0 -r
2Ä„

2Ä„
dÕ = Õ = 2Ä„
0
0
r
r
r3 dz = r3z = r4 + r4 = 2r4
-r
-r
3
3
2 486
2r4 dr = r5 =
0
5 5
0
Odpowiedz
:
486ÁÄ„
Iz =
5
6

-

6. Obliczyć strumień pola wektorowego F = 2x , x + y , x + 3z przez zorientowany na
zewnątrz powierzchnię zamkniętą, będącą brzegiem bryły
"
A : z x2 + y2 ; z 1
RozwiÄ…zanie:
Strumień pola jest równy:


Åš = F · dS
n
S
KorzystajÄ…c z twierdzenia Gaussa:


F · dS = div F dx dy ddz
n
S A
"P "Q "R

div F = + + = 2 + 1 + 3 = 6
"x "y "z

6 dx dy ddz = 6V
A
gdzie V jest objętością bryły A. Bryła A jest stożkiem o promieniu R = 1 i wysokości
H = 1.
Ä„R2H Ä„
V = =
3 3
StÄ…d:

6 dx dy ddz = 2Ä„
A
Odpowiedz
:
Åš = 2Ä„
7


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
SIMR AN2 EGZ 2013 06 26 rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 25b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 25a rozw
SIMR RR EGZ 2013 06 28 rozw
SIMR AN2 EGZ 2010 06 18b
SIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozw
SIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 25b
SIMR AN2 EGZ 2010 09 13 rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29b
SIMR AN2 EGZ 2011 06 30
SIMR AN2 EGZ 2011 06 16b
SIMR AN1 EGZ 2013 09 05 rozw
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29a
SIMR AN2 EGZ 2012 06 25a

więcej podobnych podstron