img144
Obliczymy całkę f cos(4r - 5) dx. Podstawienie będzie postaci y = 4x — 5. Aby móc zastosować powyższy wzór brakuje nam po lewej stronie yx = 4. Mnożąc i dzieląc przez 4 otrzymujemy
J cos(4x -b)dx = - J cos(4:r - 5) • 4 cir =
lr 1 1
-J cos y dy = - sin y = - sin(4a: - 5).
W praktyce postępujemy szybciej stosując pewne reguły mnemotechniczne. Powtórzmy jeszcze raz ostatni przykład. Mamy obliczyć całkę / = / cos(4x - 5) dx. Podstawiamy y = 4x - 5. Stąd dy = 4dx.
Czyli postępujemy tak jakbyśmy lewrą stronę różniczkow'ali po y, a prawrą po x. Dalej stosujemy zwykle reguły podstawiania; za 4x- 5 podstawiamy y, a za 4dx podstawiamy dy. Otrzymujemy jak poprzednio / = j /cosy dy i tak dalej.
Obliczymy całkę / = / Vl — x2dx. Podstawiamy x = sin t.. A zatem dx = cos tdt. Stąd
= / \/l^
cos żtdt.
sin* t cos tdt = J (
Całka / cos21 dt (a także f sin21 dt) będzie pojawiać się dosyć często w' naszych przykładach. Najprostszym sposobem jej obliczenia jest zastosow'anie poniższego wzoru z trygonometrii:
2 cos21 = 1 + cos2t.
A zatem
„ , i i . „ i i cos 2t dt = —t + - sin 2t = —t + - sm t cos t.
J cos 2tdt = - J 2 cos2tdt = - J (1 + cos2 t)dt =
Musimy teraz wTÓcić do zmiennej x, pamiętając, że x = sin t. Proste wyliczenia prowadzą do w'zoru
11 1 1 n-
-t + -smtcost = -arcsina: + -xv 1 - :
Rachunki te wymagają jednak kilku komentarzy. Jak pamiętamy, cały czas milcząco zakładamy, że funkcje, którymi operujemy określone są w' pewnym przedziale. W przypadku całki I, największy przedział jaki wchodzi w' grę to przedział [-1,1] (dla x). Precyzując, podstawienie x = sint możemy traktować zatem jako funkcję zmiennej t gdzie t € [—7r2,7t2]. W przedziale tym cosinus jest dodatni. Dlatego m.in. mogliśmy napisać Vcos21. = cost. Z tego samego pow'odu, z faktu że x = sin t wirnika, że t. = arc sin x.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Oblicz całkę: f 6x + 1J 3^ dx Rozwiązanie: Całkowanie przez podstawianief^ f2J3x-ą_^dx = J 3x-2 J 3x
obraz4 m 216. Korzystając ze wzoru Greena obliczyć całkę J 1 — cos y) dx — ex(y —
DSC00081 wwHg i nazwisko grupa Sformułować twierdzenie Green a. Obliczyć całkę k[xy: - xarctgy]dx +
CCF20090319 046 Zasady całkowania 55 2. Obliczyć całkę-/ x + 2 sin x H— ) dx. x Rozwiązanie. Korzyst
Oblicz całkę:./x2si sin x dx Rozwiązanie: Korzystam ze wzoru na całkowanie przez części: J f(x) *
360 XVIII. Całki funkcji przestępnych Zadanie 18.25. Obliczyć całkę I = f- J sir 2+sin x dx. sin
602 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje obliczyć całkę f e~x2x1 ,dx — /„. Całkując przez
Oblicz całkę:/ 2x — 5 2x2 + x + 2 dx Rozwiązanie: Pochodna mianownika: (2x2 + x + 2) = 4x + 1/ 2x —
Oblicz całkę: / 3x2 + 2x — 3 dx Rozwiązanie: / 3x2 + 2x — 3 dx ■■ / 3x2 + 2x — 3 , x2(ł - 1)
analiza2 Kolokwium 2 3 l Obliczyć całkę ( *>x* 5 cos x +• 7 - «- U* % &nb
Oblicz całkę korzystając z podstawień uniwersalnych: / dx 3 + cos x Rozwiązanie: 3 + cos a: > 0,
CCF20090319 047 56 Całkowanie 6. Obliczyć całkę / x dx (x2 + o2)n ’ gdzie a ^ 0. Rozwiązanie. Stosuj
Oblicz całkę: /5x — 2 dx Rozwiązanie: Całkowanie przez podstawianie J /5a: — 2 dx = (*) t = 5x — 2 /
Oblicz całkę: dx (1 + a;2) arc tg a; Rozwiązanie: Całkowanie przez podstawianie / dx (1 + x2)
II kolokwiumZestaw A 3. Całkując przez części obliczyć całkę oznaczoną J x cos — dx. 4. Obliczyć
Scan10042 Sprawdzić w domu, że ten sam wynik będzie, jeżeli obliczymy całkę: Całka podwójna do obsza
skanuj0001 ZADANIA PODSTAWOWE DLA BIOLOGII, OCHRONY ŚRODOWISKA I BIOTECHNOLOGII 1.
Zbiór zadań z matematyki dla studentów WSTP (4) 11. Obliczyć całkę a) jl.. X- - j. / dx ; b) Jx2lnxd
więcej podobnych podstron